Grattis pĂ„ Ï-approximationsdagen!
torsdag 22 juli 2010Minnesgoda lĂ€sare minns att vi firade Ï-dagen den 14 mars. Dagen datum Ă€r ocksĂ„ vĂ€rt att fira: noga rĂ€knat ligger nĂ€mligen 22/7 nĂ€rmare det sanna vĂ€rdet pĂ„ Ï Ă€n vad 3,14 gör.
Arkiv för kategorin ‘matematik’
Packat och klart
söndag 11 juli 2010Packningsgrad hos granulÀra material Àr ett vÀsentligt problemomrÄde i ingenjörskonsten, exempelvis vad det gÀller att packa ett sandlager under en vÀg sÄ mycket som möjligt för att undvika att sanden kompakteras ytterligare med tiden och dÀrigenom sjunker ihop och ger sÀttningsskador. Det Àr ocksÄ ett klassiskt matematiskt problemomrÄde, huvudsakligen för att det Àr svÄrt att hantera.
Om man betraktar en stor mĂ€ngd sfĂ€riska kulor som man försöker arrangera sĂ„ tĂ€tt som möjligt i en byrĂ„lĂ„da sĂ„ inser man intuitivt att det effektivaste sĂ€ttet Ă€r att stapla kulorna pĂ„ samma sĂ€tt som man gör i en kanonkulepyramid. Den metoden ger en ”kultĂ€thet” motsvarande 74 % av den totala volymen. Johannes Kepler stack ut hakan i början av 1600-talet och förmodade att detta Ă€r den tĂ€tast möjliga packningen av sfĂ€riska kroppar, men det visade sig att ingen lyckades bevisa detta matematiskt. Det gick sĂ„ lĂ„ngt att David Hilbert inkluderade packningsproblemet i sin berömda lista över 23 olösta problem som han lade fram 1900, och det dröjde nĂ€stan ytterligare ett sekel innan Thomas Hales vid Princeton kunde lĂ€gga fram ett bevis för Keplers förmodande.
Fyrsidig tÀrning (frÄn Wikipedia)
Om man bara hĂ€ller ner kulorna och lĂ„ter dem hitta sin position slumpmĂ€ssigt, sĂ„ kommer man att fĂ„ en tĂ€thet pĂ„ ca 64 %. Hur stor tĂ€thet man fĂ„r beror helt och hĂ„llet pĂ„ hur kornen Ă€r formade. I Physical Review Letters publicerades nyligen en studie dĂ€r man undersökt slumpmĂ€ssig packning av tetraedrar. (Kuriöst nog har man för sina experimentella studier anvĂ€nt sig av 1000 st fyrsidiga tĂ€rningar.) Man kunde dĂ€rvid konstatera ett nytt ”rekord” vad gĂ€ller slumpmĂ€ssig packning av likformiga konvexa kroppar pĂ„ 76 %.
Stilig statistik
torsdag 18 mars 2010Nature rapporterar att man Ă€r pĂ„ vĂ€g att ta fram en metod för att automatiskt kontrollera Ă€ktheten hos dyrbara mĂ„lningar. Ănnu sĂ„ lĂ€nge Ă€r man beroende av att konsthistoriker och andra experter granskar verken okulĂ€rt och gör en sĂ„ initierad bedömning de kan. Nu har dock matematiker i USA tagit fram en metod för att med hjĂ€lp av statistisk bildbehandling kvantifiera en konstnĂ€rs stil, vilket gör det möjligt att kontrollera ett ifrĂ„gasatt verk och undersöka om det Ă€r sannolikt att det verkligen Ă€r utfört att ”rĂ€tt” konstnĂ€r.
Dödens triumf, av Pieter Bruegel d.À. FrÄn wikipedia.
Man har utgĂ„tt ifrĂ„n Pieter Bruegel d.Ă€. och ett antal av hans vĂ€lkĂ€nda imitatörer. Tekniken gĂ„r ut pĂ„ att man identifierar och kvantifierar karakteristiska geometriska ”drag” i mĂ„leristilen och gör en statistisk jĂ€mförelse mot den ”Ă€kta” stilen. Artikeln Ă€r publicerad i Proceedings of the national academy of sciences.
Grattis pĂ„ Ï-dagen!
söndag 14 mars 2010Detta inlĂ€gg publiceras 100314:1.59. Det Ă€r med andra ord Ï-dags.
NĂ€sta högtidsstund för transcendenta tal Ă€r Ï approximation day, den 22/7.
Som ens egen ficka
onsdag 27 januari 2010Matematikern Simon Blackburn pÄ Royal Holloway University of London har funderat pÄ hur mycket utrymme som egentligen behövs nÀr man fickparkerar. Om man tillÄter endast en backningsomgÄng med fullt rattutslag Ät höger (och alltsÄ förbjuder rörelser fram och tillbaka) reduceras problemet till en enkel geometrisk betraktelse dÀr det minsta utrymmet bestÀms av bilens geometri, dess svÀngradie och bredden pÄ framförvarande fordon. Inga konstigheter egentligen. Det mÀrkliga Àr att ingen tycks ha analyserat detta tidigare. Ny Teknik har rapporterat om Blackburns uppsats och lÀnkar till den.
Parkeringsgeometri. KĂ€lla: S. R. Blackburn (2009)
Vad som skulle vara intressantare att se Ă€r en analys av en faktisk ”parkeringsalgoritm” dĂ€r man tillĂ„ter upprepade omtag och nya spĂ„r. Hur stort utrymme behöver man dĂ„ för att komma in i fickan med ett rimligt antal manövrer? (Som nĂ„gon av kommentarerna hos Ny Teknik konstaterar rĂ€cker det i princip att fickan Ă€r infinitesimalt lĂ€ngre Ă€n bilen för att man teoretiskt ska kunna komma in – men det kan ta oĂ€ndligt lĂ„ng tid).
Mandelbullar
tisdag 17 november 2009MandelbrotmĂ€ngden Ă€r namngiven efter matematikern BenoĂźt Mandelbrot. Den dök upp 1980 och ligger bakom mycket av det stora intresse för fraktaler och kaosteori som blommade upp pĂ„ 1980- och 1990-talen. MĂ€ngden Ă€r en matematisk konstruktion som utgĂ„r frĂ„n en rekursiv talserie dĂ€r varje tal Ă€r kvadraten av det föregĂ„ende talet plus en konstant. Om man applicerar den hĂ€r funktionen pĂ„ komplexa tal, visar det sig att för vissa vĂ€rden pĂ„ konstanten sĂ„ rusar talserien mot oĂ€ndliga vĂ€rden, men för andra vĂ€rden sĂ„ Ă€r den begrĂ€nsad Ă€ven dĂ„ antalet iterationer gĂ„r mot oĂ€ndligheten. Det intressanta Ă€r skiljelinjen mellan dessa tvĂ„ regioner i det komplexa talplanet. Den har ett oĂ€ndligt djup, och Ă€r fraktal sĂ„tillvida att den Ă€r sönderbruten oavsett hur lĂ„ngt in man zoomar. Den Ă€r dock inte sjĂ€lvrekursiv, vilket brukar ”krĂ€vas” av fraktaler, men det gör den bara Ă€nnu mer visuellt intressant.
MandelbrotmÀngd
Det Ă€r okĂ€nt om det finns nĂ„gra flerdimensionella motsvarigheter till den plana MandelbrotmĂ€ngden. Ny Teknik tipsar nu om den senaste utvecklingen. Den brittiske hobbymatematikern Daniel White har utvecklat en algoritm baserad pĂ„ hyperkomplexa tal som ger liknande resultat fast i tre dimensioner, som han kallar Mandelbulb. White producerar fantastiskt vackra bilder som han visar pĂ„ sin webbplats. Han tror dock inte sjĂ€lv att hans fraktaler Ă€r ”Ă€kta” sĂ„tillvida att de har en oĂ€ndlig upplösning pĂ„ samma sĂ€tt som det tvĂ„dimensionella originalet.
Mandelbulb
