Forskningsbloggen » matematik

Grattis på π-approximationsdagen!

Stefan — Thu, 22 Jul 2010 04:55:03 +0000

Minnesgoda läsare minns att vi firade π-dagen den 14 mars. Dagen datum är också värt att fira: noga räknat ligger nämligen 22/7 närmare det sanna värdet på π än vad 3,14 gör.

Packat och klart

Stefan — Sat, 10 Jul 2010 22:52:50 +0000

Packningsgrad hos granulära material är ett väsentligt problemområde i ingenjörskonsten, exempelvis vad det gäller att packa ett sandlager under en väg så mycket som möjligt för att undvika att sanden kompakteras ytterligare med tiden och därigenom sjunker ihop och ger sättningsskador. Det är också ett klassiskt matematiskt problemområde, huvudsakligen för att det är svårt att hantera.

Om man betraktar en stor mängd sfäriska kulor som man försöker arrangera så tätt som möjligt i en byrålåda så inser man intuitivt att det effektivaste sättet är att stapla kulorna på samma sätt som man gör i en kanonkulepyramid. Den metoden ger en ”kultäthet” motsvarande 74 % av den totala volymen. Johannes Kepler stack ut hakan i början av 1600-talet och förmodade att detta är den tätast möjliga packningen av sfäriska kroppar, men det visade sig att ingen lyckades bevisa detta matematiskt. Det gick så långt att David Hilbert inkluderade packningsproblemet i sin berömda lista över 23 olösta problem som han lade fram 1900, och det dröjde nästan ytterligare ett sekel innan Thomas Hales vid Princeton kunde lägga fram ett bevis för Keplers förmodande.

Fyrsidig tärning (från Wikipedia)

Om man bara häller ner kulorna och låter dem hitta sin position slumpmässigt, så kommer man att få en täthet på ca 64 %. Hur stor täthet man får beror helt och hållet på hur kornen är formade. I Physical Review Letters publicerades nyligen en studie där man undersökt slumpmässig packning av tetraedrar. (Kuriöst nog har man för sina experimentella studier använt sig av 1000 st fyrsidiga tärningar.) Man kunde därvid konstatera ett nytt ”rekord” vad gäller slumpmässig packning av likformiga konvexa kroppar på 76 %.

Stilig statistik

Stefan — Thu, 18 Mar 2010 06:37:56 +0000

Nature rapporterar att man är på väg att ta fram en metod för att automatiskt kontrollera äktheten hos dyrbara målningar. Ännu så länge är man beroende av att konsthistoriker och andra experter granskar verken okulärt och gör en så initierad bedömning de kan. Nu har dock matematiker i USA tagit fram en metod för att med hjälp av statistisk bildbehandling kvantifiera en konstnärs stil, vilket gör det möjligt att kontrollera ett ifrågasatt verk och undersöka om det är sannolikt att det verkligen är utfört att ”rätt” konstnär.

Dödens triumf, av Pieter Bruegel d.ä. Från wikipedia.

Man har utgått ifrån Pieter Bruegel d.ä. och ett antal av hans välkända imitatörer. Tekniken går ut på att man identifierar och kvantifierar karakteristiska geometriska ”drag” i måleristilen och gör en statistisk jämförelse mot den ”äkta” stilen. Artikeln är publicerad i Proceedings of the national academy of sciences.

Grattis på π-dagen!

Stefan — Sat, 13 Mar 2010 23:59:15 +0000

Detta inlägg publiceras 100314:1.59. Det är med andra ord π-dags.

Nästa högtidsstund för transcendenta tal är π approximation day, den 22/7.

Som ens egen ficka

Stefan — Wed, 27 Jan 2010 07:57:58 +0000

Matematikern Simon Blackburn på Royal Holloway University of London har funderat på hur mycket utrymme som egentligen behövs när man fickparkerar. Om man tillåter endast en backningsomgång med fullt rattutslag åt höger (och alltså förbjuder rörelser fram och tillbaka) reduceras problemet till en enkel geometrisk betraktelse där det minsta utrymmet bestäms av bilens geometri, dess svängradie och bredden på framförvarande fordon. Inga konstigheter egentligen. Det märkliga är att ingen tycks ha analyserat detta tidigare. Ny Teknik har rapporterat om Blackburns uppsats och länkar till den.

Parkeringsgeometri. Källa: S. R. Blackburn (2009)

Vad som skulle vara intressantare att se är en analys av en faktisk ”parkeringsalgoritm” där man tillåter upprepade omtag och nya spår. Hur stort utrymme behöver man då för att komma in i fickan med ett rimligt antal manövrer? (Som någon av kommentarerna hos Ny Teknik konstaterar räcker det i princip att fickan är infinitesimalt längre än bilen för att man teoretiskt ska kunna komma in – men det kan ta oändligt lång tid).

Mandelbullar

Stefan — Tue, 17 Nov 2009 17:03:07 +0000

Mandelbrotmängden är namngiven efter matematikern Benoît Mandelbrot. Den dök upp 1980 och ligger bakom mycket av det stora intresse för fraktaler och kaosteori som blommade upp på 1980- och 1990-talen. Mängden är en matematisk konstruktion som utgår från en rekursiv talserie där varje tal är kvadraten av det föregående talet plus en konstant. Om man applicerar den här funktionen på komplexa tal, visar det sig att för vissa värden på konstanten så rusar talserien mot oändliga värden, men för andra värden så är den begränsad även då antalet iterationer går mot oändligheten. Det intressanta är skiljelinjen mellan dessa två regioner i det komplexa talplanet. Den har ett oändligt djup, och är fraktal såtillvida att den är sönderbruten oavsett hur långt in man zoomar. Den är dock inte självrekursiv, vilket brukar ”krävas” av fraktaler, men det gör den bara ännu mer visuellt intressant.

Mandelbrotmängd

Det är okänt om det finns några flerdimensionella motsvarigheter till den plana Mandelbrotmängden. Ny Teknik tipsar nu om den senaste utvecklingen. Den brittiske hobbymatematikern Daniel White har utvecklat en algoritm baserad på hyperkomplexa tal som ger liknande resultat fast i tre dimensioner, som han kallar Mandelbulb. White producerar fantastiskt vackra bilder som han visar på sin webbplats. Han tror dock inte själv att hans fraktaler är ”äkta” såtillvida att de har en oändlig upplösning på samma sätt som det tvådimensionella originalet.

Mandelbulb